\(4^{-\frac12}=2^{-1}\) 이므로 \(\;2^{\frac32}\times4^{-\frac12}=2^{\frac32-1}=2^{\frac12}\)
공통(수학Ⅰ·수학Ⅱ) 1~22번 · 선택(확률과 통계 / 미적분 / 기하) 23~30번, 전 46문항
\(4^{-\frac12}=2^{-1}\) 이므로 \(\;2^{\frac32}\times4^{-\frac12}=2^{\frac32-1}=2^{\frac12}\)
미분계수의 정의에 의해 \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)\).
\(f'(x)=6x^2-1\) 이므로 \(f'(2)=24-1=23\).
공차를 \(d\)라 하면 \(a_{10}-a_7=3d=9\) 에서 \(d=3\).
\(a_7=a_2+5d=2+15=17\)
두 식이 모두 다항함수이므로 \(x=2\)에서만 연속을 확인하면 된다.
\(\displaystyle\lim_{x\to2+}(x^2+ax)=f(2)\) 에서 \(4+2a=14+a\), 따라서 \(a=10\).
최댓값: \(a+2=5\) 에서 \(a=3\).
주기: \(\dfrac{2\pi}{1/b}=2\pi b=8\pi\) 에서 \(b=4\). 따라서 \(a+b=7\).
\(f'(x)=6x^2+2ax-4a\), \(f'(1)=6-2a=0\) 에서 \(a=3\).
\(f'(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)\) 이므로 \(x=-2\)에서 극대, \(x=1\)에서 극소.
\(f(x)=2x^3+3x^2-12x\) 에서 극댓값 \(f(-2)=-16+12+24=20\).
첫째항 \(a\), 공비 \(r\,(r\gt0)\)이라 하면
\[\frac{S_3}{a_1+2a_2}=\frac{1+r+r^2}{1+2r}=\frac73\;\Rightarrow\;3r^2-11r-4=0\;\Rightarrow\;(3r+1)(r-4)=0\]\(r\gt0\) 이므로 \(r=4\). \(\;\dfrac{a_8}{a_6}=r^2=16\)
속도: \(v_1=12t^2-2t-11,\;v_2=4t+7\).
\(v_1=v_2\) 에서 \(12t^2-6t-18=0 \Rightarrow 2t^2-t-3=0 \Rightarrow (2t-3)(t+1)=0\), \(t\ge0\) 이므로 \(t=\frac32\).
가속도: \(p=24t-2=34,\;q=4\). 따라서 \(p-q=30\).
\(16a^x=7\) 에서 \(x_{\rm A}=\log_a\frac{7}{16}\), \(\;\frac14a^x=7\) 에서 \(x_{\rm B}=\log_a28\).
두 점의 \(y\)좌표가 같으므로 \(\overline{\rm AB}=\log_a28-\log_a\frac7{16}=\log_a64=4\).
\(a^4=64=2^6\), \(a\gt1\) 이므로 \(a=2^{\frac32}=2\sqrt2\).
양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x)=f(x)+xf'(x)-6x^2-6x\), 즉 \(xf'(x)=6x^2+6x\).
다항함수이므로 \(f'(x)=6x+6\), \(f(x)=3x^2+6x+C\).
주어진 식에 \(x=-1\)을 대입: \(0=-f(-1)+2-3+6\) 이므로 \(f(-1)=5\). \(\;3-6+C=5\) 에서 \(C=8\).
\(f(0)=C=8\)
코사인법칙: \(\overline{\rm BC}^2=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cdot\frac18=36\), \(\overline{\rm BC}=6\).
\(\sin(\angle{\rm BAC})=\sqrt{1-\frac1{64}}=\frac{3\sqrt7}{8}\), 사인법칙으로 외접원의 반지름 \(R\)은 \(2R=\dfrac{6}{3\sqrt7/8}=\dfrac{16}{\sqrt7}\).
삼각형 BCD의 외접원도 같은 원이므로
\[\overline{\rm BD}=2R\sin(\angle{\rm BCD})=\frac{16}{\sqrt7}\cdot\frac{\sqrt{14}}{4}=4\sqrt2\]\(f(0)=0\) 이므로 \(f(x)=6x^2+bx\). \(\int_0^2f(x)\,dx=16+2b=4\) 에서 \(b=-6\), 즉 \(f(x)=6x(x-1)\).
ㄱ. \(0\le x\le1\)에서 \(f\le0\), \(1\le x\le2\)에서 \(f\ge0\). \(\int_0^1(6x-6x^2)dx=1,\ \int_1^2(6x^2-6x)dx=5\) 이므로 합은 \(6\). (참)
ㄴ. \(g(1)=0\)인 일차함수는 \(g(x)=m(x-1)\) 꼴이고 \(\int_0^2m(x-1)dx=0\). 따라서 \(\int_0^2\{f(x)+g(x)\}dx=4\). (참)
ㄷ. \(\int_0^2(f+h)dx=4\) 이면 \(\int_0^2h\,dx=0\) 이므로 (ㄴ과 같이) \(h(x)=m(x-1)\), \(m\ne0\). 이때 \(f(x)+h(x)=(x-1)(6x+m)\).
\(m\gt0\) 이면 \([0,2]\)에서 \(6x+m\gt0\) 이므로
\[\int_0^2|f+h|\,dx=\int_0^2|x-1|(6x+m)\,dx=\underbrace{\int_0^2 6x|x-1|\,dx}_{=6}+m\underbrace{\int_0^2|x-1|\,dx}_{=1}=6+m\]\(k\gt6\)인 각 \(k\)에 대해 \(m=k-6\gt0\)으로 잡으면 두 조건을 동시에 만족한다. (참)
\(k\)는 자연수이므로 \(f(k)=\frac1k\), 즉 \(5f(k)=\frac5k\).
\(M=\bigl[\sqrt[3]{n}\bigr]\) 이라 하면
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{f(\sqrt[3]{k})}{5f(k)}=\underbrace{\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{m=1}^{M}m^3}_{\text{정수}}+\frac15\sum_{m=1}^{M}m^2\]따라서 자연수가 될 조건은 \(\sum_{m=1}^{M}m^2\)이 5의 배수인 것.
| \(M\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sum m^2\) | 1 | 5 | 14 | 30 | 55 | 91 |
| \(n\)의 범위 | 1~7 | 8~26 | 27~63 | 64~124 | 125~215 | 216~300 |
\(M=2,4,5\): \(19+61+91=171\)개.
검증: \(n=1\sim300\) 전부를 분수로 직접 계산해 171개 확인.
\(f(x)=(x-m)^2+n\) 으로 두자. 분모 \(G_t(x)=f(x)+f(x-t)\)는 최고차항의 계수가 2인 이차함수이고, \(x=m+\frac t2\)에서 최솟값 \(\frac{t^2}{2}+2n\)을 갖는다.
집합이 \(\{t\mid t\ge\frac32\}\)가 되려면 '분모가 실근을 갖지 않는 범위' \(t\gt2\sqrt{-n}\)이 \(t\gt\frac32\)와 같아야 하므로 \(2\sqrt{-n}=\frac32\), \(n=-\frac9{16}\). 또 \(t=\frac32\)에서도 극한이 존재해야 한다.
\(t=\frac32\): 분모 \(=2\bigl(x-x_0\bigr)^2\), \(x_0=m+\frac34\) (중근). 한편 \(f(x_0)=\frac9{16}-\frac9{16}=0\)이고 \(f\)의 두 근 \(m\pm\frac34\)는 서로 다르므로 \(x_0\)는 \(f\)의 단순근이다. 분자가 \(x_0\)를 중근으로 가지려면 \(2x_0+1=0\), 즉 \(x_0=-\frac12\), \(m=-\frac54\).
\[f(x)=\Bigl(x+\tfrac54\Bigr)^2-\tfrac9{16}=(x+2)\Bigl(x+\tfrac12\Bigr),\qquad f(2)=4\times\tfrac52=10\]확인: \(t=\frac32\)이면 \(\dfrac{(2x+1)(x+2)(x+\frac12)}{2(x+\frac12)^2}=x+2\) 이므로 극한 존재. \(0\lt t\lt\frac32\)에서는 극한이 존재하지 않는 \(a\)가 생김을 수치로도 확인.
\(\log_9(2x-3)=\frac12\log_3(2x-3)\) 이므로 \(2\log_3(x-3)=\log_3(2x-3)\).
\((x-3)^2=2x-3 \Rightarrow x^2-8x+12=0 \Rightarrow x=2\) 또는 \(x=6\).
진수 조건 \(x\gt3\) 에서 \(x=6\).
\(f(x)=\int(6x^2-2x)dx=2x^3-x^2+C\), \(f(0)=10\) 에서 \(C=10\).
\(f(1)=2-1+10=11\)
\(a_1=28\) (짝) \(\to a_2=14\) (짝) \(\to a_3=7\) (홀) \(\to a_4=2\cdot7+12=26\) (짝) \(\to a_5=13\) (홀) \(\to a_6=2\cdot13+12=38\)
\(y'=3x^2-6x-1=8 \Rightarrow x^2-2x-3=0 \Rightarrow x=-1\) 또는 \(x=3\).
\(k=8\cdot1+7=15\)
교점: \(\sin x=-k\cos x \iff \tan x=-k\). A의 \(x\)좌표 \(a\)는 \(\frac\pi2\lt a\lt\pi\), \(\tan\)의 주기가 \(\pi\)이므로 B의 \(x\)좌표는 \(a+\pi\), \(y\)좌표는 \(\sin(a+\pi)=-\sin a\). → (가) \(=a+\pi\)
\(g(2\pi-x)=g(x)\) 이므로 \(y=g(x)\)는 직선 \(x=\pi\)에 대하여 대칭. 따라서 \({\rm C}(2\pi-a,\ \sin a)\), \({\rm D}(\pi-a,\ -\sin a)\). → (나) \(=\pi-a\)
\(\overline{\rm DB}=(a+\pi)-(\pi-a)=2a\), C와 직선 DB 사이 거리 \(2\sin a\) → \(\triangle{\rm CDB}=\frac12\cdot2a\cdot2\sin a=2a\sin a\).
\(\triangle{\rm AOD}=\frac12\bigl|a(-\sin a)-(\pi-a)\sin a\bigr|=\frac\pi2\sin a\).
\(\frac\pi2\sin a=\frac5{14}\cdot2a\sin a\) 에서 \(a=\frac{7\pi}{10}\) → (다) \(=\alpha=\frac{7\pi}{10}\), \(k=-\tan\frac{7\pi}{10}=\tan\frac{3\pi}{10}\gt1\) ✓
\[3\times\frac{p(\alpha)}{q(\alpha)}=3\times\frac{\alpha+\pi}{\pi-\alpha}=3\times\frac{17\pi/10}{3\pi/10}=17\](가)에서 \(f(x)=(x-\alpha)^2(x-\beta)\;(\alpha\ne\beta)\). 이때 \(g(x)=3f(x)-4|f(x)|\) 로 쓸 수 있다.
따라서 \(h\)가 미분가능 \(\iff\) \(p\)가 '단순근 \(\beta\) + 중근' 꼴이고 \(2|p'(\beta)|=8(\beta-\alpha)^2\). 즉 \(1,\ a,\ 4-a\) 중 두 개가 같아야 한다.
최댓값 \(-\frac14\), 최솟값 \(-48\) → 곱 \(=12\).
관찰 ① \(y=\log_a\!\bigl(x-\frac14\bigr)-\frac14\)은 \(y=a^x\)를 직선 \(y=x-\frac14\)에 대하여 대칭이동한 곡선이다. (대칭이동 \(T:(x,y)\mapsto(y+\frac14,\ x-\frac14)\))
관찰 ② \(y=2x^2-\frac{15}2x+\frac{15}2\)는 \(y=2x^2-\frac72x+3\)을 \(x\)축 방향으로 \(1\), \(y\)축 방향으로 \(-1\)만큼 평행이동한 곡선이다. (\(S:(x,y)\mapsto(x+1,\ y-1)\))
직사각형이므로 \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm DC}\). 포물선 \(y=2x^2+\cdots\) 위의 두 점은 두 점을 잇는 벡터(기울기 \(=2(x_1+x_2)+\)일차항 계수, \(x\)좌표의 차)로 유일하게 정해지므로 \({\rm D}=S({\rm A}),\ {\rm C}=S({\rm B})\), 즉 \({\rm D}={\rm A}+(1,-1)\).
D가 로그곡선 위에 있으므로 \(T({\rm D})=(y_{\rm A}-\frac34,\ x_{\rm A}+\frac34)\)가 \(y=a^x\) 위에 있다. 이 점은 A를 직선 \(y=x+\frac34\)에 대하여 대칭이동한 점이다. A와 다르다면 두 점을 잇는 직선의 기울기가 \(-1\)인데, \(y=a^x\)는 증가함수이므로 불가능. 따라서 A(그리고 같은 이유로 B)는 직선 \(y=x+\frac34\) 위의 점이다.
\[2x^2-\tfrac72x+3=x+\tfrac34\;\Rightarrow\;8x^2-18x+9=0\;\Rightarrow\;(4x-3)(2x-3)=0\]A, B \(=\bigl(\frac34,\frac32\bigr),\ \bigl(\frac32,\frac94\bigr)\) → \(a^{\frac34}=\frac32\) (\(a^{\frac32}=\frac94\)와도 일치).
\(a^3=\bigl(\frac32\bigr)^4=\frac{81}{16}\) → \(p+q=16+81=97\).
확인: C\((\frac52,\frac54)\), D\((\frac74,\frac12)\)가 두 곡선 위에 있고 \(\overrightarrow{\rm AB}=(\frac34,\frac34)\perp\overrightarrow{\rm BC}=(1,-1)\).
같은 것이 있는 순열: \(\dfrac{5!}{3!}=20\)
\({\rm P}(A)=1-\frac25=\frac35\), \(\;{\rm P}(A\cap B)={\rm P}(A)\,{\rm P}(B\mid A)=\frac35\times\frac23=\frac25\)
일반항 \(\;{}_4{\rm C}_r(2x^3)^{4-r}\bigl(x^{-2}\bigr)^r={}_4{\rm C}_r\,2^{4-r}x^{12-5r}\).
\(12-5r=2\) 에서 \(r=2\) → \({}_4{\rm C}_2\cdot2^2=6\cdot4=24\)
\(a\le3\): \(3\times6=18\)가지.
\(a\ge4\)이면서 \(ab\)가 8의 배수: \(a=4\) → \(b=2,4,6\) (3가지), \(a=5\) → 없음, \(a=6\) → \(b=4\) (1가지).
\(\dfrac{18+3+1}{36}=\dfrac{11}{18}\)
\(Z=\dfrac{X-1}{\sigma}\) 로 표준화하면 \({\rm P}\bigl(\frac32-\frac1\sigma\le Z\le2-\frac1\sigma\bigr)=0.044\) — 길이 \(\frac12\)인 구간이다.
표에서 \({\rm P}(1.5\le Z\le2.0)=0.4772-0.4332=0.044\). 길이가 일정한 구간의 확률은 구간 중심이 0에서 멀어질수록 감소하므로 확률이 0.044인 구간은 \([1.5,2]\)와 \([-2,-1.5]\)뿐이다.
\(\frac32-\frac1\sigma\lt\frac32\) 이므로 \(\frac32-\frac1\sigma=-2\), 즉 \(\sigma=\frac27\).
\[{\rm P}\Bigl(X\ge\tfrac{10}7\Bigr)={\rm P}\Bigl(Z\ge\tfrac{3/7}{2/7}\Bigr)={\rm P}(Z\ge1.5)=0.5-0.4332=0.0668\]보이는 배열은 A와 B가 이웃한 자리를 바꿀 때만 달라진다. 'B 뒤에 A가 오는 쌍의 수'(역전 수)로 상태를 나누면 (각 괄호는 주사위 눈의 가짓수):
4번 후 상태 0이어야 하므로 상태 3 이상은 고려하지 않아도 된다. 경우의 수로 계산하면
| 상태 0 | 상태 1 | 상태 2 | |
|---|---|---|---|
| 2번 후 | \(5\cdot5+1\cdot1=26\) | \(5\cdot1+1\cdot3=8\) | \(1\cdot2=2\) |
| 3번 후 | \(26\cdot5+8\cdot1=138\) | \(26+24+2=52\) | — |
| 4번 후 | \(138\cdot5+52\cdot1=742\) | — | — |
3번째 눈이 6 (상태 유지, 1가지)인 경우: \(26\cdot1\cdot5+8\cdot1\cdot1=138\).
구하는 확률 \(=\dfrac{138}{742}=\dfrac{69}{371}\)
검증: \(6^4=1296\)가지를 전부 시뮬레이션 → 742가지 중 138가지.
\(a+b+c+d=14\)인 자연수 순서쌍 전체: \({}_{13}{\rm C}_3=286\).
\(10a\lt d\)인 경우: \(d\ge11\) → \(a=1,\ d=11,\ b=c=1\) 의 1가지.
\(c\ge d^2\)인 경우:
두 경우가 겹치는 순서쌍은 없으므로 \(286-1-95=190\).
검증: 전수 조사로 190개 확인.
확인한 5개 수의 합을 \(S\)라 하면 \(\overline X=\frac S5\) 이므로 \(\overline X=\frac k5\iff S=k\).
\[a=\sum_{k=1}^{10}k^2\,{\rm P}(S=k)={\rm E}(S^2)\quad(k=0\text{인 항은 }0)\]한 번 꺼낸 수 \(Y\): \({\rm E}(Y)=1\), \({\rm V}(Y)=\frac{0+1+4}{3}-1=\frac23\).
\({\rm E}(S)=5\), \({\rm V}(S)=\frac{10}3\) → \({\rm E}(S^2)=\frac{10}{3}+25=\frac{85}{3}\).
\(6\times a=170\)
부분적분:
\[\int_0^1(3x+1)e^x\,dx=\Bigl[(3x+1)e^x\Bigr]_0^1-\int_0^13e^x\,dx=(4e-1)-3(e-1)=e+2\]공비 \(r=\frac{k^2-20}{16}\). 수렴 조건 \(-1\lt r\le1\):
\(-16\lt k^2-20\le16 \iff 4\lt k^2\le36\) → \(k=\pm3,\pm4,\pm5,\pm6\), 8개.
\(y'=-\dfrac{2(2x+1)}{(x^2+x)^2}\), \(x=1\)에서 \(-\frac32\) → \(l:\ y=-\frac32x+\frac52\).
\(1\le x\le2\)에서 곡선이 직선 위에 있으므로
\[\int_1^2\Bigl\{\frac{2}{x(x+1)}+\frac32x-\frac52\Bigr\}dx=2\Bigl[\ln\frac{x}{x+1}\Bigr]_1^2-\frac14=2\Bigl(\ln\frac23-\ln\frac12\Bigr)-\frac14=2\ln\frac43-\frac14\]\(f'(x)=\dfrac{3\{(\ln x)^2-1\}}{x}\), \(f(1)=0\), \(f'(1)=-3\). 따라서 \(h'(1)=g'(f(1))\,f'(1)=-3g'(0)\).
\(t\ge e\)에서 \(f(t)=0\): \((\ln t)^3-3\ln t=0\), \(\ln t\ge1\) 이므로 \(\ln t=\sqrt3\), \(t=e^{\sqrt3}\).
\(g(f(t))=t^2\)을 미분하면 \(g'(f(t))f'(t)=2t\). \(t=e^{\sqrt3}\)에서 \(f'(t)=\frac{3(3-1)}{t}=\frac6t\) 이므로
\[g'(0)=\frac{2t}{6/t}=\frac{t^2}{3}=\frac{e^{2\sqrt3}}{3},\qquad h'(1)=-3\cdot\frac{e^{2\sqrt3}}{3}=-e^{2\sqrt3}\]\(\theta=\angle{\rm AOP}\), \(\varphi=\angle{\rm OPQ}=f(t)\) 라 하자.
넓이: \(t=\triangle{\rm OAP}-(\text{부채꼴 OBP})=\frac12\cdot2\cdot5\sin\theta-\frac12\cdot2^2\theta=5\sin\theta-2\theta\).
각: \(\varphi\)는 삼각형 OAP의 P에서의 외각이므로 \(\angle{\rm OAP}=\varphi-\theta\). O에서 직선 AP까지의 거리를 두 가지로 쓰면
\[2\sin\varphi=5\sin(\varphi-\theta)\;\Rightarrow\;\tan\varphi=\frac{5\sin\theta}{5\cos\theta-2}\]\(\tan\varphi=\frac32\): \(15\cos\theta-10\sin\theta=6\) 과 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) 을 연립 → \(\cos\theta=\frac45,\ \sin\theta=\frac35\) (P는 A에서 보이는 호 위, \(\cos\theta\gt\frac25\)).
\(\dfrac{dt}{d\theta}=5\cos\theta-2=2\), \(\;\sec^2\varphi\,\dfrac{d\varphi}{d\theta}=\dfrac{25-10\cos\theta}{(5\cos\theta-2)^2}=\dfrac{17}{4}\), \(\sec^2\varphi=1+\frac94=\frac{13}{4}\) → \(\dfrac{d\varphi}{d\theta}=\dfrac{17}{13}\).
\[f'(k)=\frac{d\varphi/d\theta}{dt/d\theta}=\frac{17/13}{2}=\frac{17}{26}\]검증: 좌표로 \(t,\varphi\)를 직접 계산한 수치미분 결과 0.653846… \(=\frac{17}{26}\).
\(a_1=a\gt0\), 공비 \(r\lt0\). 급수가 수렴하려면 \(b_n\to0\)이어야 하므로 \(|r|\lt1\) (\(|r|\ge1\)이면 \(b_n\)이 0으로 가지 않음). 따라서 \(|a_n|\)은 감소한다.
\(a_4=24\cdot\bigl(-\frac18\bigr)=-3\), \(a_6=24\cdot\bigl(-\frac1{32}\bigr)=-\frac34\) → \(36\times a_4\times a_6=36\times\frac94=81\).
지수 \(2x+\frac12\cos\pi x\)의 도함수 \(2-\frac\pi2\sin\pi x\gt0\) 이므로 \(f\)는 증가함수. \(f(0)=\sqrt2,\ f(1)=2\sqrt2,\ f(2)=16\sqrt2,\ f(3)=32\sqrt2\).
첫째 적분 (\(x=f(t)\) 치환 후 부분적분):
\[\int_{f(1)}^{f(3)}g(x)\,dx=\int_1^3t f'(t)\,dt=3f(3)-f(1)-\int_1^3f(t)\,dt=94\sqrt2-\int_1^3f(t)\,dt\]\(t=s+1\) 로 두면 \(f(s+1)=2^{2s+2-\frac12\cos\pi s}=4\cdot2^{2s-\frac12\cos\pi s}\) 이므로 \(\int_1^3f(t)\,dt=4\int_0^2 2^{2s-\frac12\cos\pi s}ds\).
둘째 적분 (\(x=f(t)\), \(g'(x)\,dx=dt\)):
\[\int_{f(0)}^{f(2)}\frac{2^{4g(x)}g'(x)}{x}\,dx=\int_0^2\frac{2^{4t}}{f(t)}\,dt=\int_0^2 2^{2t-\frac12\cos\pi t}\,dt\]합하면 계산할 수 없는 적분이 정확히 상쇄된다:
\[\frac14\Bigl(94\sqrt2-4I\Bigr)+I=\frac{47}{2}\sqrt2\qquad\Bigl(I=\int_0^2 2^{2t-\frac12\cos\pi t}dt\Bigr)\]\(p=2,\ q=47\) → \(p+q=49\).
검증: 역함수를 수치로 구해 두 적분을 직접 계산 → 33.2340… \(=\frac{47}{2}\sqrt2\).
\(2\vec a+\vec b=(3k,\ 7)\), \(3k+7=10\) → \(k=1\).
내분점 \(\Bigl(\dfrac{18+2a}{5},\ \dfrac{3b-8}{5},\ 3\Bigr)=(4,-1,3)\) → \(a=1,\ b=1\) → \(a+b=2\).
단축의 길이 6 → \(\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{9}=1\). 점 \((4,\sqrt5)\) 대입: \(\frac{16}{A^2}+\frac59=1\) → \(A^2=36\).
\(c^2=36-9=27\) → \(\overline{\rm FF'}=2c=6\sqrt3\).
\(\overline{\rm BC}=3=\)높이이므로 C는 B의 바로 위(모선 위)의 점이다.
좌표: \({\rm A}(-3,0,0),\ {\rm B}(3,0,0),\ {\rm C}(3,0,3)\), \({\rm D}(3\cos\theta,3\sin\theta,3)\).
\(\overline{\rm CD}^2=18(1-\cos\theta)=24\) → \(\cos\theta=-\frac13,\ \sin\theta=\frac{2\sqrt2}{3}\) → \({\rm D}(-1,\ 2\sqrt2,\ 3)\).
D에서 직선 AB(\(x\)축)까지의 거리 \(=\sqrt{(2\sqrt2)^2+3^2}=\sqrt{17}\) → 넓이 \(=\frac12\cdot6\cdot\sqrt{17}=3\sqrt{17}\).
A\((x_1,y_1)\): 초점까지 거리 \(=x_1+p=3p\) → \(x_1=2p,\ y_1=2\sqrt2p\).
접선 \(l\): \(2\sqrt2p\,y=2p(x+2p)\), 즉 \(y=\frac{1}{\sqrt2}(x+2p)\) → \({\rm B}(0,\ \sqrt2p)\).
A를 지나고 \(l\)에 수직인 직선: \(y=-\sqrt2(x-2p)+2\sqrt2p\) → \({\rm C}(0,\ 4\sqrt2p)\).
넓이 \(=\frac12\cdot\overline{\rm BC}\cdot x_1=\frac12\cdot3\sqrt2p\cdot2p=3\sqrt2p^2=16\sqrt2\) → \(p^2=\frac{16}{3}\), \(p=\frac{4\sqrt3}{3}\).
(나)에서 삼각형 ABC와 DBC는 한 변의 길이가 \(s\)인 정삼각형이다. A, D는 B, C에서 같은 거리에 있고, \(\overline{\rm OB}=\overline{\rm OC}\) 이므로 O, A, D는 모두 선분 BC의 수직이등분면 \(\Pi\) 위에 있다. BC의 중점을 M이라 하자.
평면 ABC와 \(\Pi\)의 교선은 직선 AM이고 BC\(\perp\Pi\) 이므로, \(\Pi\) 위의 직선 OD가 평면 ABC와 평행하려면 OD ∥ AM.
A, D는 \(\Pi\) 위의 두 원 (중심 O, 반지름 3), (중심 M, 반지름 \(\frac{\sqrt3}{2}s\))의 교점이므로 직선 OM에 대하여 대칭. \(\Pi\) 위 좌표 \({\rm O}(0,0),{\rm M}(m,0),{\rm A}(x,y),{\rm D}(x,-y)\) 에서 \((x,-y)\parallel(m-x,-y)\) → \(x=\frac m2\).
그러면 \(\overline{\rm AM}=\overline{\rm OA}=3\) 이므로 \(\frac{\sqrt3}{2}s=3\), \(s=2\sqrt3\).
삼각형 OAB: \(\overline{\rm OA}=\overline{\rm OB}=3,\ \overline{\rm AB}=2\sqrt3\) → 넓이 \(=\frac12\cdot2\sqrt3\cdot\sqrt{9-3}=3\sqrt2\).
두 평면 OAB, OAC가 이루는 각: 삼각형 OAB와 OAC는 \(\Pi\)에 대하여 대칭이므로 B, C에서 직선 OA에 내린 수선의 발 H가 같고 \(\overline{\rm HB}=\overline{\rm HC}=\frac{2\cdot3\sqrt2}{3}=2\sqrt2\).
\[\cos(\angle{\rm BHC})=\frac{8+8-12}{2\cdot8}=\frac14\quad\Rightarrow\quad\text{정사영의 넓이}=3\sqrt2\times\frac14=\frac{3\sqrt2}{4}\]검증: 좌표 \({\rm A}(\frac{\sqrt6}2,\sqrt{\frac{15}2},0)\), \({\rm B}(\sqrt6,0,\sqrt3)\), \({\rm C}(\sqrt6,0,-\sqrt3)\), \({\rm D}(\frac{\sqrt6}2,-\sqrt{\frac{15}2},0)\)로 모든 조건과 넓이 확인.
쌍곡선의 주축 길이는 8. 대칭성에 의해 A(오른쪽 가지, 선분 PF 위)와 B는 \(y\)축 대칭이고 \(\overline{\rm AP}=\overline{\rm BP}\), \(\overline{\rm BF}=\overline{\rm AF'}\).
정삼각형 발견: PC ∥ FF' 이므로 \(\angle{\rm APC}=\angle{\rm PFF'}\) (엇각). 조건 \(\angle{\rm APF'}=\angle{\rm APC}\) 에서 \(\angle{\rm FPF'}=\angle{\rm PFF'}\), 또 \(\overline{\rm PF}=\overline{\rm PF'}\) 이므로 삼각형 PF'F는 한 변이 \(2c\)인 정삼각형.
\(\overline{\rm AF}=u\) 라 하면 \(\overline{\rm AP}=2c-u\), \(\overline{\rm AF'}=u+8\) (쌍곡선의 정의).
타원 조건 (초점 A, B, 두 점 F, P를 지남): \(\overline{\rm AF}+\overline{\rm BF}=\overline{\rm AP}+\overline{\rm BP}\) → \(u+(u+8)=2(2c-u)\) → \(u=c-2\).
삼각형 AFF'에서 \(\angle{\rm AFF'}=60^\circ\):
\[(c+6)^2=(c-2)^2+(2c)^2-2(c-2)(2c)\cos60^\circ=3c^2+4\;\Rightarrow\;c^2-6c-16=0\;\Rightarrow\;c=8\]\(\overline{\rm AF}=6,\ \overline{\rm AP}=10,\ \overline{\rm AF'}=14,\ \overline{\rm FF'}=16\). (A\((5,3\sqrt3)\)은 \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{48}=1\) 위 ✓)
삼각형 AFF' ∽ 삼각형 APC (엇각 60°, 맞꼭지각), 닮음비 \(\overline{\rm AP}:\overline{\rm AF}=10:6=5:3\):
\(\overline{\rm PC}=16\cdot\frac53=\frac{80}3,\ \overline{\rm AC}=14\cdot\frac53=\frac{70}3\) → 둘레 \(=10+\frac{80}3+\frac{70}3=60\).
(가)에서 ABCD는 AB ∥ DC인 등변사다리꼴. \({\rm A}(-12,0),{\rm B}(12,0),{\rm D}(-12+d,h),{\rm C}(12-d,h)\), \(d^2+h^2=338\).
(나): \(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm DC}=24(24-2d)\), \(\overrightarrow{\rm AD}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=(d,h)\cdot(-d,h)=338-2d^2\).
\(24(24-2d)=338-2d^2\) → \(d^2-24d+119=0\) → \(d=7\) 또는 \(17\). \(\overline{\rm DC}=24-2d\gt0\) 이므로 \(d=7,\ h=17\): \({\rm D}(-5,17),\ {\rm C}(5,17)\).
\(\overrightarrow{\rm XA}\cdot\overrightarrow{\rm XD}=0\) → X는 AD를 지름으로 하는 원 위, \(\overrightarrow{\rm XB}\cdot\overrightarrow{\rm XC}=0\) → X는 BC를 지름으로 하는 원 위.
두 원은 중심 \(\bigl(\mp\frac{17}2,\frac{17}2\bigr)\), 반지름의 제곱 \(\frac{169}{2}\)로 \(y\)축 대칭 → 교점은 \(x=0\) 위: \(\frac{289}4+\bigl(y-\frac{17}2\bigr)^2=\frac{338}{4}\) → \(y=5,\ 12\).
X\(_1(0,5)\), X\(_2(0,12)\). 원 위의 점이므로 \(\overrightarrow{\rm AD}\cdot\overrightarrow{\rm AX}=|\overrightarrow{\rm AX}|^2\):
\[\overrightarrow{\rm AD}\cdot\overrightarrow{\rm AX_1}=12^2+5^2=169,\qquad\overrightarrow{\rm AD}\cdot\overrightarrow{\rm AX_2}=12^2+12^2=288\]합 \(=169+288=457\).